CONHECIMENTOS EMPÍRICO E A PRIORI.

Aula 2 - Filosofia da Matemática

Conhecimentos empírico e a priori

Sérgio Augusto Borges

Para que a gente entenda por que a Matemática é filosófica, ou por que a Filosofia se preocupa com a Matemática, é bom saber que, na Matemática, os filósofos se deparam com questões  que sempre foram as mais importantes para a Filosofia como, por exemplo, questões ligadas ao significado,  à verdade, à realidade e ao conhecimento.

Um exemplo para ilustrar o modo como a Filosofia se debruça sobre a Matemática, mais especificamente sobre a Geometria: a Geometria de Euclides, que muitos filósofos consideram a descrição do mundo físico, parte do pressuposto de que o ponto é aquilo que não tem partes. Mas, no mundo real, conhecemos algo que não é composto de partes? Atualmente, a Ciência tenta provar a existência de uma partícula ainda menor que o quark, que existe dentro do próton. Mas haverá um fim para essa busca da comprovação empírica da partícula indivisível? Ou a descoberta de partículas menores que as menores já conhecidas será possível a cada novo avanço tecnológico?

O fato é que a Geometria de Euclides, “imagina” a existência do ponto ou dos pontos indivisíveis que comporiam o mundo físico. Este é um dos seus postulados. Pois é dessa forma, “imaginando” a existência de unidades indivisíveis, que a Geometria é aplicada à realidade. Arquitetos e engenheiros, geralmente, não se preocupam com o pensamento filosófico suscitado pela geometria, satisfazem-se com suas obras que podem ser tanto úteis quanto belas, ou seja, o importante é o fato de a geometria ter-lhes uma utilidade prática.

Mas a Filosofia vai além do postulado de Euclides, pois pode pensar assim: se um ponto não tem extensão, porque não é composto de partes, mesmo um número infinito de pontos não iria compor um volume no espaço. Então, seriam os pontos apenas ideias de nossa mente? Ou seriam coisas reais mas que não podemos observar? Os princípios da Geometria são mesmo verdadeiros? Como adquirimos – se é que adquirimos – conhecimentos geométricos e como é possível que esses conhecimentos sejam aplicados ao mundo sensível?

As controvérsias aumentaram ainda mais com o surgimento das Geometrias não-euclidianas.São Geometrias que também são legítimas do ponto de vista matemático mas que são incompatíveis com as leis da Geometria Euclidiana. Então, se geometrias incompatíveis entre si, são matematicamente legítimas, de que modo podemos conceber a verdade na Matemática? Como é possível que duas leis incompatíveis entre si sejam verdadeiras? Será que os matemáticos  pouco se importam com a noção de Verdade? Neste caso, por que estudar Geometria se pode ser definida como uma preocupação a respeito da verdade acerca do espaço?

Um grande número de questões semelhantes também se apresenta na aritmética, a Matemática dos números. Nesta, procura-se o significado dos termos empregados, pergunta-se se podemos ou não alcançar a verdade e até mesmo se essa parte da Matemática é um caminho para a busca de alguma verdade. Pergunta-se também sobre o tipo de conhecimento que podemos adquirir com a aritmética e quer-se saber se as leis dos números podem mesmo ser aplicadas ao mundo real.

E, na aritmética, pode-se fazer um questionamento forte: o questionamento a respeito da própria existência da Matemática. Em Geometria é possível entender os princípios hipoteticamente, sem que eles tenham que garantir a existência de alguma coisa. Por exemplo: “Se existe uma figura que é um triângulo, então a soma de seus ângulos é igual a dois ângulos retos”. Não existem, na Geometria, leis como “Existe um triângulo”. Na aritmética, a Matemática dos números, por outro lado, há muitas leis que parecem, realmente, garantir a existência de certas coisas; Exemplo: “Existe exatamente um número y tal que o produto de x por y, seja qual for x, é igual a x”. É uma lei que que tenta garantir,  de modo bem claro, a existência de alguma coisa – neste caso, o número um. Portanto, não há aqui um sentido hipotético como na Geometria, há mesmo um sentido de existência.    

Mas, que tipo de existência estaria sendo afirmado pela aritmética? Que espécie de realidade? Seria uma existência em sentido literal, ou seja, a existência de algo que é, de fato, da maneira como é definido? Ou seria uma existência apresentada em sentido figurado, que pretende apenas indicar ou expressar alguma coisa por uma via indireta, por similaridade ou equivalência? Observem que aí estão os problemas da Filosofia da Matemática que apontamos no início deste texto: questões acerca do significado, da verdade, da realidade e do conhecimento. De acordo com o filósofo da Matemática, Sthephen Barker, a maior parte dos matemáticos dá apenas atenção superficial a essas questões fundamentais. A estes matemáticos, o filósofo norte-americano faz um alerta: os problemas filosóficos presentes na Matemática são muito sérios do ponto de vista intelectual e não podem ser deixados de lado. Mesmo quando esses problemas se revelam como erros de interpretação, tais enganos não são de fácil eliminação, ao contrário, são frequentes e importantes. Não podem ser ignorados para que se evitem enganos que serão ainda maiores.